Is this sentence correct?

今日は私はびょうきがあるから、うんどうしません。

(Because I am sick today, I (therefore) won't do physical exercise)?

びょうきがある sounds like a serious disease. Suggest to use kibun ga warui.


今日(私は)気分が悪いから、うんどうしません。

今日は私はびょうきがあるから、うんどうしません。
今日は(私は)病気だから、うんどうしません。would be better but more common expression is
今日は体の調子が悪い（良くない）から、運動しません。

wiil not
今日は「(病名*)」(の)ため/(な)ので、運動はしません。
今日は「(病名*)」(の)ため/(な)ので、運動はしません。

can not
今日は「(病名*)」(の)ため/(な)ので、運動が出来ません。
今日は「(病名*)」(の)ため/(な)ので、運動が出来ません。

*)
風邪を引いた/風邪引き(の) : catch cold
お腹(o-naka))が痛い/お腹の調子が良くない(の)/腹痛がする： stomachache
頭痛がする：headache
体の調子が悪い：some sick (not best condition)


if "私はびょうきがあるから" means "chronic disease"
ex) pneumonia(肺炎),heart disease(心臓病),asthma(喘息)

私(に)は「(病名)」があるため、運動はしません。
私(に)は「(病名)」があるため、運動が出来ません。

especially "asthma","allergic disease(アレルギー)" or "fit/attack(発作)"

私は「(病名)」持ちのため(に
)、運動はしません。
私は「(病名)」持ちのため(に)、運動が出来ません。

持ち(mo-chi) means "(sick) career/sufferer".